It does literally mean "with the warning that", but that doesn't make sense here. I would say something like "and provide the required notifications".

In the UK, under caution would mean a police warning of an evidentiary record pre-interview.

Compare, in the US, a 'cautionary instruction' given by a judge to the jury (in the UK, a 'warning' or 'direction')

El par de idiomas no es precisamente español AR; es español neutro, universal. No hay ningún argentinismo en lo que pides (o "¿pedís?"). Más bien los argentinismos son por expresiones idiomáticas o aspectos gramaticales. Estos últimos se apartan bastante del español estándar, en mi opinión. Si un argentino no está consciente de esto se verá en problemas al traducir para el mercado estadounidense, que suele pedir español latinoamericano estándar, con ligera inclinación al español mexicano. Por ejemplo: Me dijo que vaya (argentinismo), Me dijo que fuera (español estándar/neutro).
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Para este caso, un sinónimo de "bajo apercibimiento de" sería: "con la condición de que" (on condition that/provided that).

No traduciré toda tu expresión, esa es tu tarea, pero te daré pistas:
- efectuar las comunicaciones pertinentes = carry out the appropriate/necessary notifications
- organismos nacionales y provinciales que correspondan = relevant national and provincial bodies

bajo apercibimiento de

Under warning to

..BAJO APERCIBIMIENTO DE efectuar las comunicaciones pertinentes a las autoridades y organismos nacionales y provinciales que correspondan.

..UNDER WARNING TO make the pertinent communications to the national and provincial authorities and agencies that apply.